1

1. PENDAHULUAN

Beberapa tahun terakhir ini, teknik-teknik kendali kokoh berkembang pesat. Dalam rekayasa sistem, akan semakin ba-nyak dibutuhkan sistem pengendalian yang dapat menangani suatu pekerjaan dengan lebih afektif dan efisien. Perancangan sis-tem kendali dalam metode klasik terbatas pada anggapan bahwa sistem yang akan dikendalikan adalah linear dan tetap. Pa-dahal sebenarnya sering dijumpai sistem yang berubah terhadap waktu dan sistem dengan parameter berubah-ubah (Linear Parameter Varying (LPV)). Perubahan pa-rameter plant (obyek yang dikendalikan) umumnya besar, sehingga penggunaan pe-ngendali linear dengan parameter tetap saja tidak akan cukup menghasilkan stabilitas dan kinerja yang diharapkan. Oleh karena itu, sangat diperlukan suatu perancangan pengendali untuk sistem linear dengan pa-rameter berubah-ubah, yang dapat mena-ngani perubahan paremeter secara kontinu. Pengendali LPV yang dinyatakan sebagai fungsi dari parameter telah diteliti sebagai pengendali yang dapat menstabilkan plant dengan parameter yang berubah-ubah [2, 5, 6].

Di dalam artikel ini, kami melaku-kan sintesis (perancangan secara mate-matik) pengendali LPV dan mengaplika-sikannya pada pesawat terbang untuk pe-ngendalian gerak lateral-direksional. Va-riasi dari dinamika pesawat terbang yang dikaji disini, diakibatkan oleh perubahan kecepatan dan posisi dflap pesawat. Plant dan pengendali direpresentasikan dalam bentuk sistem LPV polytopic. Perancangan pengendali diturunkan dengan menyele-saikan pertidaksamaan matriks linear yang dievaluasi pada 32 verteks.

2. SISTEM LPV POLYTOPIC

Berikut ini dibahas sistem dengan parameter berubah-ubah model polytopic. Pandang himpunan lintasan parameter fea-sible:

yang menjadi sub himpunan dari

Sistem LPV dapat direpresentasikan dalam

persamaan ruang keadaan kontinu sebagai

berikut.

(2.1)

dengan x(t) adalah vektor keadaan, y(t) adalah vektor keluaran, u(t) adalah vektor masukan, , , .

A, B, C, D diasumsikan sebagai fungsi kontinu dari vektor parameter

Matriks polytop didefinisikan [2] seba-gai konveks hull dari sejumlah berhingga ma-triks-matriks N_i dengan dimensi sama yaitu

Bila vektor parameter diambil nilainya didalam box dari R^s dengan sudut-sudut , dengan kata lain, nilainya berada didalam polytop dengan verteks-verteks , maka dapat ditulis

Sistem LPV disebut polytopic bila dapat direpresentasikan oleh matriks ruang kea-daan A(), B(), C(), dan D() dengan vektor parameter berva-riasi didalam suatu polytop tetap dan keter-gantungan dari A(.), B(.), C(.), dan D(.) pa-da adalah affine. Jadi matriks ruang kea-daan dari sistem LPV polytopic dapat dire-presentasikan dalam bentuk

Penulisan di atas dapat diartikan bahwa

adalah kombinasi konveks dari matriks-matriks sistem

Sistem LPV (2.1) dengan trayektori parameter akan stabil internal dan mem-punyai penguatan yang dibatasi oleh [1, 4, 7] jika dan hanya jika ada ma-triks simetrik P() > 0 dan

(2.2)

yang berlaku untuk semua nilai yang diper-kenankan dari vektor parameter dan . Dalam hal ini, fungsi kuadratik Lya-punov

membangun kestabilan dan keterbatasan untuk semua input (u) yang ter-batas dalam norm-L₂ dan semua trayektori (dengan mengambil x(0)=0).

3. PERANCANGAN PENGENDALI

LPV POLYTOPIC

Pada bagian ini dikemukakan suatu proses perancangan secara matematik (syn-thesis) pengendali LPV polytopic, yang diperoleh dengan menyelesaikan pertidak-samaan matriks linear. Selanjutnya, untuk menyederhanakan penulisan, ketergantu-ngan variabel dan data ruang keadaan ter-hadap tidak ditulis. Misalnya A() ditulis A saja.

Untuk keperluan perancangan pe-ngendali, sistem LPV (2.1) diperumum menjadi

(3.1)

dengan w: input dari luar, u: input kendali, y: output yang diukur, dan z: output yang dikendalikan. Plant LPV yang diperumum dapat ditulis dalam model polytopic se-bagai berikut.

, r adalah banyaknya verteks dari polytop.

Selanjutnya akan dirancang pe-ngendali LPV polytopic dengan persamaan ruang keadaan sebagai berikut.

(3.2)

sedemikian sehingga sistem lup tertutup stabil sepanjang lintasan parameter dan norm L₂ dari sistem lup tertutup kurang dari untuk setiap parameter yang berada di daerah politop .

Teorema 3.1. [1] Pandang plant LPV yang diperumum (3.1) dengan parameter trayek-tori . Terdapat pengendali output feed-back yang membangun stabilitas dan norm L₂ dari sistem lup tertutup kurang dari , jika dan hanya jika terdapat se-pasang matriks (X, Y) simetri tergantung parameter dan 4 pasang matriks tergantung parameter dari data ruang data keadaan (), sedemikian sehingga

(3.3)

(3.4)

Tanda * menyatakan diinduksi oleh sime-tri.

Contoh.

pengendali LPV polytopic diperoleh de-ngan menggunakan prosedur perancangan seperti di bawah ini.

i. Menyelesaikan pertidaksamaan matriks linear (3.3) dan (3.4) pada Teorema 3.1. sehingga diperoleh matriks simetri X dan Y.

ii. Menentukan matriks N dan M dari persamaan:

iii. Menentukan A_k, B_k, C_k, D_k melalui per-

samaan:

Pengukuran data parameter secara prak-tek sangat sulit diperoleh karena belum adanya sensor yang dapat mengukurnya dengan baik selama operasi sistem. Oleh karena itu, digunakan metode kebebasan X dan Y [1] untuk menghilangkan ketergan-tungan fungsi terhadap . Dengan meng-gunakan metode tersebut, pada artikel ini adalah dengan mengasumsikan parameter dapat berubah cepat sekali, atau tak terbatas (unbounded rate) parameter se-hingga persamaan (3.3) dan A_k pada pro-sedur No. iii di atas, menjadi:

(3.5)

Untuk sistem LPV polytopic, pertidaksa-maan (3.5) dan prosedur di atas diselesai-kan di setiap verteks dari politop, sehingga diperoleh pengendali LPV polytopic

yang menstabilkan sistem lup tertutup dan norm L₂ dari sistem lup tertutup kurang dari untuk semua parameter yang berada di daerah polytop .

4. HASIL SIMULASI

Defleksi

maksimum

Laju perubahan

maksimum

Aileron

deg

50 deg/sec

Rudder

deg

37 deg/sec

Berikut ini diberikan aplikasi pe-ngendali LPV polytopic untuk pengenda-lian gerak lateral-direksional pesawat ter-bang. Persamaan dinamik dari gerak late-ral-direksional model nominal pesawat ter-bang [3] dapat direpresentasikan dalam sistem LPV sebagai berikut.

dengan variabel keadaan (x): kecepatan late-ral, roll rate, yaw rate, sudut roll, dan sudut azimut; vektor masukan (u): defleksi aileron, defleksi rudder vektor keluaran (y): sudut side slipe, kecepatan sudut gu-ling (roll rate), kecepatan sudut geleng (yaw rate), sudut guling, dan sudut azimut, dan akselerasi lateral. Tujuan dari peran-cangan pengendali adalah untuk memenuhi kriteria berikut.

Spesifikasi dalam domain frekuensi

· Sistem lup tertutup mempunyai lebar pi-ta 10 rad/sec.

· Sistem lup tertutup mempunyai sensiti-vitas rendah pada frekuensi 8 rad/sec.

· Pada daerah frekuensi tinggi, derau pe-ngukuran diredam sekitar 2 dB.

Spesifikasi dalam domain waktu

· Toleransi galat kondisi tunak maksi-mum 7 %, overshoot 10 % dan waktu transient antara 4-8 seconds.

· Magnitudo sinyal kendali tidak melebihi batas saturasi aktuator, terutama posisi dan laju perubahan putaran aktuator

· Respon sistem terhadap komando me-menuhi kualitas terbang level 1.

Secara umum, variabel keluaran yang akan diatur meliputi level sinyal aktuator dan sinyal-sinyal yang berhubungan dengan variabel kinerja. Variabel sinyal aktuator yang akan dikaji adalah laju perubahan ser-ta posisi putaran aktuator yang meng-gerakkan aileron dan rudder. Data fisik kedua aktuator pada pesawat terbang dibe-rikan pada Tabel 4.2. (sumber: dokumen TN-2/X1100/09/93) [3].

Table 2. Defleksi dan laju perubahan maksimum aktuator

Dalam rangka memenuhi kriteria di atas, digunakan fungsi bobot. Fungsi bobot tersebut dikombinasikan dengan model no-minal dan diperoleh plant yang diper-umum berorde 20 dengan output yang di-kendalikan adalah posisi aileron, posisi rudder, laju perubahan aileron, laju peru-bahan rudder, galat side slipe, dan galat yaw-rate. Plant berorde 20 tersebut tidak stabil. Selanjutnya untuk memperoleh ma-triks ruang keadaan yang tergantung secara affine pada parameter, dipilih elemen-ele-men dari matriks A yang berubah secara signifikan apabila kecepatan dan dflap se-bagai kondisi dari operasi penerbangan. Diperoleh elemen-elemen matriks A(2,1), A(2,2), A(3,1), A(3,2), A(3,3) yang paling berpengaruh terhadap perubahan kecepatan dan posisi dflap sebagai kondisi dari ope-rasi penerbangan. Dari sini berarti ada 5 parameter yaitu , , , , yang masing-masing terbatas. Sehingga jumlah verteks dari polytop adalah 2⁵ = 32. Pada keadaan landing, data nominal pesa-wat terbang adalah kecepatan bervariasi dari 90-150 knots, dflap: 40 deg, pusat gravitasi: 26,7 cg, masa pesawat terbang: 20267,5 kg, ketinggian: 1250 feet. Kemu-dian dengan menggunakan prosedur seperti pada bagian 3 dan dengan menggunakan program MATLAB khususnya LMI Lab, dirancang pengendali LPV polytopic yang dievaluasi di 32 verteks. Dari hasil peran-cangan diperoleh berorde 20 dengan op-timal sebesar 50,0004 yang merupakan ni-lai penguatan maksimum dari perbandi-ngan antara output yang dikendalikan dan input dari luar sistem lup tertutup.

Respon frekuensi untuk frozen pa-rameter dari sistem lup tertutup diberikan pada Gambar 1. Dari gambar tersebut ter-lihat bahwa lebar pita rad/sec. Nilai singular yang tinggi pada

Gambar 1. Respon frekuensi dari sistem

LPV lup tertutup untuk frozen parameter.

frekuensi rendah menyatakan bahwa sis-tem memiliki sensitivitas rendah atau penguatan tinggi pada frekuensi rendah. Sedangkan nilai singular yang rendah pada frekuensi tinggi menyatakan bahwa pe-nguatan sistem pada daerah tersebut ren-dah sehingga gangguan dari derau pengu-kuran dapat diredam sekitar 2 dB. Ini ber-arti kriteria perancangan pengendali ter-penuhi. Lokasi dari pole-pole sistem nomi-nal dan lup tertutup untuk frozen para-meter pada saat diambil kecepatan 90, 110, 130 knots diberikan pada Gambar 2 dan Gambar 3. Pada Gambar 2 terlihat bahwa terdapat pole yang terletak di sebelah ka-nan sumbu imajiner (terdapat pole yang bagian realnya positif yaitu bernilai 4,438 e-16).

Gambar 2. Letak pole-pole sistem nominal

pesawat pada frozen parameter

Pada Gambar 3 letak pole-pole pada kecepatan 90, 110, 130 knots berimpit dan semuanya terletak disebelah kiri sumbu sumbu imajiner (semua bagian real dari pole adalah negatif), ini berarti untuk fro-zen parameter sistem lup tertutup stabil. Koefisien redaman minimum dan frekuen-si osilasi dari sistem lup tertutup untuk frozen parameter dengan kecepatan 90, 120, 140 knots dan dflaps 40 derajat diberikan pada Tabel 2.

Gambar 3. Letak pole-pole sistem lup

tertutup untuk frozen parameter.

Tabel 2. Koefisien redaman minimum dan

frekuensi osilasi dari sistem lup tertutup

V (knots)	Real	Imaji- ner	Freku-ensi	Dam-ping
90	-2.3	-2.6	3.4	0.7
110	-2.4	-2.6	3.6	0.7
130	-2.5	-2.7	3.7	0.7

Dari data diatas diketahui bahwa telah terjadi pergeseran lokasi pole minimum sejauh 0.7 ke arah kiri sumbu real sehingga sistem lup tertutup memiliki redaman dan frekuensi osilasi lebih baik dari pada model nominal. Ini berarti sesuai dengan kriteria kualitas terbang.

Kinerja pengendali gain scheduling yang dapat dilihat dari respon waktu sistem lup tertutup apabila diberi input gangguan berupa sinyal step dan komando pilot side-slipe 3 deg untuk frozen parameter di berikan pada Gambar 4. Dari gambar terse-but dapat dilihat bahwa posisi dan laju perubahan dari aileron dan rudder masih di bawah batas saturasi aktuator. Dari gambar ini juga terlihat bahwa sistem lup tertutup dapat distabilkan dalam waktu se-kitar 8 detik meskipun kecepatan dari pesa-wat diubah-ubah. Dari hasil-hasil diatas berarti kriteria perancangan dipenuhi.

Gambar 4. Respon step dari sistem LPV

lup tertutup untuk frozen pa-rameter ( _ : V=90 knots, ...: V= 110 knots, -.-: V= 130 knots).

5. KESIMPULAN

Dalam artikel ini telah dibahas perancangan pengendali gain scheduling dari sistem LPV model polytopic. Dari ha-sil simulasi gain scheduling diperoleh bah-wa pengendali yang dirancang mampu mempertahankan kekokohan stabilitas dan kinerja sistem selama beroperasi walaupun mendapat gangguan dari luar dalam variasi parameter yang diberikan. Kualitas kinerja sistem lup tertutup untuk frozen parameter adalah baik dalam arti sistem mempunyai

faktor redaman diatas 0.7 dan frekuensi natural yang kecil.

6. DAFTAR PUSTAKA

[1]. Apkarian, P. and R. J. Adam. (1997), Advanced Gain Scheduling Techniques for Uncertain System, AACC.

[2]. Apkarian, P., J. M. Biannie and P. Gahinet. (1995), Self Scheduled Con-trol of Missile via Linear Matrix In-equalities, Journal of Guidance, Con-trol, and Dynamics, 18(3): 532-538.

[3]. Bambang, R. T. (1999), Self Scheduled Control Design for N250 Aircraft

[4]. Dynamics based on Polytopic LPV Model, Proceedings of the IASTED International Conference on Control and Application, Banff, Canada.

[5]. Becker, G. and A. Packard. (1994), Robust performance of Linear Para-metrically Varying Systems Using Pa-rametrically-Dependent Linear Feed-back, System and Control Letters, 23: 205-215.

[6]. Biannic, J. M. and P. Apkarian. (1997), Parameter Varying Control of a High Performance Aircraft, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 20 (2).

[7]. Ghaoui, L. E. and S. Niculescu. (2000), Advanced in Linear Matrix Inequality Method in Control, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 209-228.

[8]. Wu, F., et. al. (1996), Induced L2-Norm Control for LPV System with Bounded Variation Rates, Int. Journal of Robust Control and Non Linear, 6(9-10): 983-998.